Question

已知抛物线的方程为，直线的方程为，点关于直线的对称点在抛物线上．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知，求过点及抛物线与轴两个交点的圆的方程；
（3）已知，点是抛物线的焦点，是抛物线上的动点，求的最小值及此时点的坐标；

Answer 1

（1）；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）求出点关于直线的对称点的坐标，然后将对称点的坐标代入抛物线的方程求出的值，从而确定抛物线的方程；（2）先确定抛物线与轴的两个交点、，结合图形确定为直角三角形，并确定相应的斜边，以此求出圆心和半径，最终确定圆的方程；（3）结合图象与抛物线的定义确定点、、三点共线求出的最小值，并确定的直线方程，将直线方程与抛物线方程联立求出点的坐标.
（1）设点关于直线的对称点为坐标为，
则解得，
把点代入，解得，
所以抛物线的方程为；
（2）令得，
设抛物线与轴的两个交点从左到右分别为、，则C、，
显然是直角三角形，所以为所求圆的直径，由此可得圆心坐标为，
圆的半径，
故所求圆的方程为；
（3）是抛物线的焦点，抛物线的顶点为，
抛物线的准线为，
过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义知,
，当且仅当、、三点共线时“”成立，
即当点为过点所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时，取最小值，

，这时点的坐标为；