Question

【题目】如图，正三棱柱的底面边长为，点在边上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形．

（1）求证：点为边的中点；

（2）求点到平面的距离．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）根据等腰直角三角形，可得且，根据三垂线定理可知，而底面为边长为的正三角形，则即可证得点为边的中点；

（2）过点作，根据线面垂直的判定定理可知平面，平面，则即为点到平面的距离，根据等面积法可求出的长．

（1）证：为以点为直角顶点的等腰直角三角形，

且，

三棱柱，底面，

在底面内射影为，，

底面为边长为的正三角形，

点为边的中点；

（2）解：由（1）知平面，则平面平面．

在平面内过点作于，

且平面平面，

∴平面，

∴即为到平面的距离，

在正三角形内，∵，

∴，则，

在中，，

则，

∴，

∴到平面的距离为．