Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：“”是“函数有且只有一个零点” 的充分必要条件.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据切线的几何意义得到切线的斜率， ，所以切线方程为；（2）先证充分性再证必要性，含参讨论，函数图像和x轴的交点情况。

解析：

（Ⅰ）依题意，

所以切线的斜率

又因为，所以切线方程为.

（Ⅱ）先证不必要性.

当时， ，令，解得.

此时， 有且只有一个零点，故“有且只有一个零点则”不成立.

再证充分性.

方法一：

当时， .

令，解得.

（i）当，即时， ，

所以在上单调增.

又，

所以有且只有一个零点.

（ii）当，即时，

， 随的变化情况如下:

				0
		0		0
		极大值		极小值

当时， ， ，所以

又

所以有且只有一个零点.

（iii）当，即时， ， 随的变化情况如下:

		0
		0		0
		极大值		极小值

因为，所以时，

令，则.

下面证明当时， .

设，则.

当时， 在上单调递增；

当时， 在上单调递减

所以当时， 取得极大值.

所以当时， , 即.

所以.

由零点存在定理， 有且只有一个零点.

综上， 是函数有且只有一个零点的充分不必要条件.

方法二：

当时，注意到时， ， ， ，

因此只需要考察上的函数零点.

（i）当，即时， 时， ，

单调递增.

又

有且只有一个零点.

（ii）当，即时，以下同方法一.