Question

【题目】已知椭圆的离心率为，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若直线与椭圆E相交于A，B两点，设P为椭圆E上一动点，且满足（O为坐标原点）.当时，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由离心率及四边形的面积和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；

（2）将直线与椭圆联立求出两根之和及两根之积，，可得.进而写出P的坐标，P在椭圆上求出m的范围，进而求出的表达式，由反比例函数的单调性求出它的最小值.

解：（1）依题意得，.以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为，则，解得，.

所以椭圆E的方程为.

（2）设A，B两点的坐标分别为，

联立方程得，，

，，

因为，即，所以.

所以点，又点P在椭圆C上，所以有，

化简得，

所以，化简，因为，所以，

因为，

又，，所以.

令，则，

当时，取得最小值，最小值为.