题目内容

若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是

（A）（-1，0）∪（0，1）              （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）  

（C）（-1，0）∪（1,+∞）                （D）（-∞，-1）∪（0,1）

【答案】C

【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。

由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。

【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。

练习册系列答案
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设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且x≤f(x)≤
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(1+x2)；②f（x）在R上的最小值为0．
（1）求f（1）的值及f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-k2x在[-1，1]上是单调函数，求k的取值范围；
（3）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．
（理）定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，均有：|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立，则称f（x）在D上满足利普希茨（Lipschitz）条件．
（1）试举出一个满足利普希茨（Lipschitz）条件的函数及常数k的值，并加以验证；
（2）若函数f(x)=
x+1
在[1，+∞)上满足利普希茨（Lipschitz）条件，求常数k的最小值；
（3）现有函数f（x）=sinx，请找出所有的一次函数g（x），使得下列条件同时成立：
①函数g（x）满足利普希茨（Lipschitz）条件；
②方程g（x）=0的根t也是方程f(
3π
4
)=
2
sin(
3π
2
-
π
4
)=-
2
cos
π
4
=-1；
③方程f（g（x））=g（f（x））在区间[0，2π）上有且仅有一解．

函数f(x)定义在R上，常数a≠0，下列正确的命题个数是

①若f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的对称轴是直线x＝a

②函数y＝f(a＋x)和y＝f(a－x)的对称轴是x＝0

③若f(a－x)＝f(x－a)，则函数y＝f(x)的对称轴是x＝0

④函数y＝f(x－a)和y＝f(a－x)的图象关于直线x＝a对称

[　　]

A．1

B．2

C．3

D．4
设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且x≤f(x)≤
1
2
(1+x2)；②f（x）在R上的最小值为0．
（1）求f（1）的值及f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-k2x在[-1，1]上是单调函数，求k的取值范围；
（3）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．
我们知道：若函数y=f(x)存在函数y=f-1(x)，则原函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称；若y=f(x)与y=f-1(x)的图像有公共点，则某些公共点也未必在直线y=x上，例如：f(x)=.

(Ⅰ)已知y=f(x)为定义域上的增函数，且y=f(x)与y=f-1(x)的图像有公共点，求证：y=f(x)与y=f-1(x)的图像的公共点在直线y=x上；

(Ⅱ)设f(x)=ax(a＞1),试讨论f(x)与f-1(x)的图像的公共点的个数.

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