Question

6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，k≠0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），并且最高点为（1，2），相邻的最低点为（3，0）．
（1）求f（x）的解析式及f（x）的单调递增区间；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）的值．

Answer 1

分析 （1）根据条件分别求出A，ω和φ的值，即可求函数f（x）的解析式，根据三角函数的单调性即可求函数f（x）的单调递减区间．
（2）函数f（n）=sin（$\frac{π}{2}$n）+1（n∈Z）的周期为4，求得f（1）+f（2）+…+f（4）的值，可得要求式子的值．

解答 解：（1）设f（x）的最小正周期为T，得T=2（ 3-1）=4，
由T=$\frac{2π}{ω}$=4，得ω=$\frac{π}{2}$，…（2分）
又 A+k=2，且k-A=0，解得A=1，k=1     …（5分）
由sin（$\frac{π}{2}×$1+φ）+1=2，解得：$\frac{π}{2}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得φ=2kπ，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
可得当k=0时，φ=0，
则f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）+1，…（8分）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{2}$x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得f（x）的单调递增区间为：[4k-1，4k+1]，k∈Z，…（10分）
（说明：k∈Z条件只要有一个不扣分，没有扣1分）
（2）∵f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）+1，
∴f（1）=2；
f（2）=1；
f（3）=0；
f（4）=1；
…
函数f（n）=sin（$\frac{π}{2}$n）+1（n∈Z）的周期为4，那么f（1）+f（2）+…+f（4）=4，
故f（1）+f（2）+…+f（2016）=504×[f（1）+f（2）+…+f（4）]=2016．…（14分）

点评 本题主要考查三角函数的解析式的求解以及三角函数单调性的求解，考查了正弦函数的周期性，根据条件求出A，ω和φ的值是解决本题的关键，属于中档题．