题目内容

递减的等差数列{a_n}的前n项和为S_n．若a₃•a₅=63，a₂+a₆=16，
（1）求{a_n}的通项公式
（2）当n为多少时，S_n取最大值，并求其最大值．
（3）求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．

解：（1）a₂+a₆=a₃+a₅=16，又a₃•a₅=63，
所以a₃与a₅是方程x²-16x+63=0的两根，
解得 $\text{[math]}$ ，
又该等差数列递减，所以 $\text{[math]}$ ，
则公差d= $\text{[math]}$ ，a₁=11，
所以a_n=11+（n-1）（-1）=12-n；
（2）由 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，解得11≤n≤12，
又n∈N^*，所以当n=11或12时S_n取最大值，最大值为S₁₁= $\text{[math]}$ =66；
（3）由（2）知，当n≤12时a_n≤0，当n＞12时a_n＞0，
①当n≤12时，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+a₃+…+a_n）
=-S_n=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ；
②当n＞12时，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+a₃+…+a₁₂）+（a₁₃+a₁₄+…+a_n）
=S_n-2S₁₂= $\text{[math]}$ -2×66=- $\text{[math]}$ ；
所以|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）a₂+a₆=a₃+a₅=16，由此可把a₃与a₅看作方程x²-16x+63=0的两根，解出a₃与a₅，根据通项公式可得公差及首项；
（2）由递减等差数列性质可知，要使S_n取最大值，则有a_n≥0，a_n+1≤0，解出n，即可求得正整数n值；
（3）分①当n≤12时，②当n＞12时两种情况进行讨论，借助等差数列前n项和公式即可求得答案；
点评：本题考查等差数列通项公式、前n项和公式及数列求和，考查分类讨论思想，熟练掌握等差数列的通项公式及前n项和公式是解决该类问题的基础．