Question

在递减的等差数列{a_n}中，a₂+a₄+a₆=12，a₃•a₅=7，前n项和为S_n
（1）求a_n；
（2）求S_n及其最值，并指明n的取值；
（3）令T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由等差数列的性质可得a₄=4，可得a₃•a₅=（4-d）（4+d）=7，解之可得d值，可得通项；（2）可得S_n=

29n-3n2

2

，由二次函数的知识可知当n=5时，S_n取最大值，代入求和公式可得；（3）可得当n≤5时，a_n＞0，当n≥6时，a_n＜0，当n≤5时，T_n=S_n=

29n-3n2

2

，当n≥6时，T_n=2S₅-S_n，求解可得．

解答：解：（1）∵{a_n}为等差数列，∴a₂+a₆=2a₄，
代入已知可得3a₄=12，解得a₄=4，
设数列的公差为d，
则可得a₃•a₅=（4-d）（4+d）=7，
解之可得d=-3，或d=3（舍去，数列递减）
故a_n=a₄+（n-4）d=16-3n
（2）由（1）可知a_n=16-3n，a₁=13，
故S_n=

n(a1+an)

2

=

29n-3n2

2

，
对应二次函数的对称轴为n=

29

6

，
故当n=5时，S_n取最大值，
S₅=

29×5-3×52

2

35；
（3）由a_n=16-3n≤0可得n≥

16

3

，
故当n≤5时，a_n＞0，当n≥6时，a_n＜0，
故当n≤5时，T_n=S_n=

29n-3n2

2

，
当n≥6时，T_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇-…-a_n
=2S₅-S_n=70+

3n2-29n

2

点评：本题考查等差数列的前n项和，涉及分类讨论的思想，属中档题．