Question

已知函数f（x）=-x+ln

1-x

1+x

．
（Ⅰ）求函数的定义域，并求f（

1

2011

）+f（-

1

2011

）的值；
（Ⅱ）若常数a∈（-1，1），当x∈[-a，a]时，f（x）是否存在最小值，若存在，求出最小值； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据对数的真数大于0，解分式为等式可得函数f（x）的定义域．再验证函数的奇偶性，得到函数是（-1，1）上的奇函数，可得f（

1

2011

）+f（-

1

2011

）的值；
（2）讨论函数的单调性，得到当x∈[-a，a]时，f（x）是减函数，由此不难得到f（x）的最小值．

解答：解（1）由

1-x

1+x

＞0得-1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域是（-1，1）
∵f（-x）=x+ln

1+x

1-x

，-f（x）=x-ln

1-x

1+x

=x+ln

1+x

1-x

．
∴f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数
∴f（

1

2011

）+f（-

1

2011

）=0
（2）y=ln

1-x

1+x

=ln（-1+

2

1+x

），
∵e≈2.71828＞1，t=-1+

2

1+x

是（-1，1）上的减函数，
∴y=ln

1-x

1+x

是（-1，1）上的减函数，
又∵y=-x是（-1，1）上的减函数，
∴函数f（x）=-x+ln

1-x

1+x

是（-1，1）上的减函数，而[-a，a]⊆（-1，1）
因此，当x∈[-a，a]时，f（x）是减函数，可得f（x）的最小值为f（a）=-a+ln

1+a

1-a

．

点评：本题给出含有对数的基本初等函数，求函数的定义域并求它在闭区间上的最小值，着重考查了对数函数的单调性、函数的奇偶性和函数定义域求法等知识，属于基础题．