Question

10．如图四边形ABCD，AB=BD=DA=2．BC=CD=$\sqrt{2}$，现将△ABD沿BD折起，使二面角A-BD-C的大小在[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，则直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是（　　）

• A． [0，$\frac{\sqrt{2}}{8}$]∪（$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，1）
• B． [$\frac{\sqrt{2}}{8}$，$\frac{5\sqrt{2}}{8}$]
• C． [0，$\frac{\sqrt{2}}{8}$]
• D． [0，$\frac{5\sqrt{2}}{8}$]

Answer 1

分析 取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围．

解答 解：取BD中点O，连结AO，CO，
∵AB=BD=DA=2．BC=CD=$\sqrt{2}$，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO=1，AO=$\sqrt{3}$，
∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，
以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，
过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B（0，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），
设二面角A-BD-C的平面角为θ，则$θ∈[\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，
连AO、BO，则∠AOC=θ，A（$\sqrt{3}cosθ，0，\sqrt{3}sinθ$），
∴$\overrightarrow{BA}=（\sqrt{3}cosθ，1，\sqrt{3}sinθ）$，$\overrightarrow{CD}=（-1，1，0）$，
设AB、CD的夹角为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{|1-\sqrt{3}cosθ|}{2\sqrt{2}}$，
∵$θ∈[\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，∴cos$θ∈[-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}]$，∴|1-$\sqrt{3}cosθ$|∈[0，$\frac{5}{2}$]．
∴cos$α∈[0，\frac{5\sqrt{2}}{8}]$．
故选：D．

点评 本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．