Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n．数列{S_n+3}是公比为2的等比数列，且a₂=6．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n+log₂$\frac{{2a}_{n+1}^{2}}{9}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求使T_n＞3×2ⁿ+10n+45成立的最小正整数n．

Answer 1

分析 （1）通过数列{S_n+3}是公比为2的等比数列且a₂=6可知2（a₁+3）=a₁+a₂+3，计算可得a₁=3，从而可知数列{S_n+3}是以6为首项、2为公比的等比数列，利用a_n+1=S_n+1+3-S_n-3计算即得结论；
（2）通过（1）化简可知b_n=$\frac{3}{2}$•2ⁿ+2n-1，利用等差数列、等比数列的求和公式计算可知T_n=-3+n²+3•2ⁿ，从而问题转化为解不等式n²-10n-48＞0，计算即得结论．

解答 解：（1）∵数列{S_n+3}是公比为2的等比数列，且a₂=6，
∴2（a₁+3）=a₁+a₂+3=a₁+6+3，
解得：a₁=3，
∴数列{S_n+3}是以6为首项、2为公比的等比数列，
∴S_n+3=6•2^n-1=3•2ⁿ，
∴a_n+1=S_n+1+3-S_n-3=3•2ⁿ⁺¹-3•2ⁿ=$\frac{3}{2}$•2ⁿ⁺¹，
又∵a₁=3满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{3}{2}$•2ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=a_n+log₂$\frac{{2a}_{n+1}^{2}}{9}$
=$\frac{3}{2}$•2ⁿ+log₂$\frac{2•\frac{9}{4}•{4}^{n}}{9}$
=$\frac{3}{2}$•2ⁿ+2n-1，
∴T_n=$\frac{3}{2}$•$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+2•$\frac{n（n+1）}{2}$-n
=-3+n²+3•2ⁿ，
∵T_n＞3×2ⁿ+10n+45，
∴-3+n²+3•2ⁿ＞3×2ⁿ+10n+45，
整理得：n²-10n-48＞0，即（n-5）²＞73，
解得：n＞5+$\sqrt{73}$，
∴满足条件的最小正整数n=14．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．