Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，分别为的中点.

（1）求证：平面；

（2）若截面与底面所成锐二面角为，求的长度.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连接，通过中位线证得，且，又证得，从而可证明四边形是平行四边形，则，利用线面平行的判定定理可证得平面；

（2）分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法表示出截面与底面所成锐二面角的余弦值，建立方程，从而求出的长.

（1）证明：取的中点，连接，

是的中点，

，且.

∵底面为直角梯形，，

，

，

，且.

∴四边形是平行四边形，.

又平面平面，

平面.

（2）解：如图，分别以所在直线为轴、轴、轴

建立空间直角坐标系，设，

则

，

取平面的一个法向量为. ，

设平面的法向量为，

则有

即

不妨取，则，即， ，

解得，即的长为4.