题目内容
【题目】如图，四棱台
中，底面
是菱形，
底面，且
60°，
，
是棱
的中点.
（1）求证：
；
（2）求直线
与平面
所成线面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）由
底面
，得
，再由底面是菱形，得
，利用直线与平面垂直的判定可得
平面
，进一步得到
；
（2）设
交
于点
，依题意，
且
，得到
底面．以为原点，
、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系．求出平面
的一个法向量与
的坐标，再由两向量所成角的余弦值求解直线
与平面
所成线面角的正弦值．
（1）因为
底面，所以
因为底面是菱形，所以
又
，所以平面
又由四棱台
知，
，
，
，
四点共面
所以
（2）如图，设交于点，依题意，且，
，且
，
又由已知底面，得底面．
以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图
设交于点，依题意，
且
，所以
则
，
，
，
，
由
，得
因为
是棱
中点，所以
所以
，
，
设
为平面的法向量
则
，取
，得
设直线与平面所成线面角为
，则
所以直线与平面所成线面角的正弦值
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（1）求a的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值
（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长：
序号n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
锻炼时长m（单位：分钟） | 10 | 15 | 12 | 20 | 30 | 25 | 35 |
（Ⅰ）根据数据求m关于n的线性回归方程；
（Ⅱ）若
（是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”．估计小张“宅”家第8天是否是“有效运动日”？
附；在线性回归方程
中，
，
．
