题目内容

已知圆C：x²+y²=r²（r＞0）经过点（1， $数学公式$ ）．
（1）求圆C的方程；
（2）是否存在经过点（-1，1）的直线l，它与圆C相交于A，B两个不同点，且满足 $数学公式$ = $数学公式$ $数学公式$ + $数学公式$ $数学公式$ （O为坐标原点）关系的点M也在圆C上？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

解：（1）由圆C：x²+y²=r²，再由点（1， $\text{[math]}$ ）在圆C上，得r²=1²+（ $\text{[math]}$ ）²=4
所以圆C的方程为
x²+y²=4；
（2）假设直线l存在，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
M（x₀，y₀）
①若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：
y-1=k（x+1），
联立 $\text{[math]}$ 消去y得，
（1+k²）x²+2k（k+1）x+k²+2k-3=0，
由韦达定理得x₁+x₂=- $\text{[math]}$ =-2+ $\text{[math]}$ ，
x₁x₂= $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ ，
y₁y₂=k²x₁x₂+k（k+1）（x₁+x₂）+（k+1）²= $\text{[math]}$ -3，
因为点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在圆C上，
因此，得x₁²+y₁²=4，
x₂²+y₂²=4，
由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 得x₀= $\text{[math]}$ ，y₀= $\text{[math]}$ ，
由于点M也在圆C上，
则 $\text{[math]}$ =4，
整理得， $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ x₁x₂+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ y₁y₂=4，
即x₁x₂+y₁y₂=0，所以1+ $\text{[math]}$ +（ $\text{[math]}$ -3）=0，
从而得，k²-2k+1=0，即k=1，因此，直线l的方程为
y-1=x+1，即x-y+2=0，
②若直线l的斜率不存在，
则A（-1， $\text{[math]}$ ），B（-1，- $\text{[math]}$ ），M $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =4- $\text{[math]}$ ≠4，
故点M不在圆上与题设矛盾
综上所知：k=1，直线方程为x-y+2=0
分析：（1）把点（1， $\text{[math]}$ ）代入圆的方程求得r，则圆的方程可得．
（2）假设直线l存在，设出点A，B和M的坐标，先看若直线l的斜率存在，设直线l的方程与圆的方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂=和x₁x₂的表达式，进而根据直线方程求得y₁y₂的表达式，把A，B点坐标代入圆的方程，根据 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 求得x₀和y₀，代入圆的方程整理得x₁x₂+y₁y₂=0，进而求得k，直线l的方程可得．再看直线l的斜率不存在时，可分别求得A，B，M的坐标，代入圆方程结果不符合题意，可判定点M不在圆上．
点评：本题主要考查了圆的方程的综合运用．在解决直线方程问题时，一定要对斜率的存在情况进行讨论．