Question

已知∫₀¹（3ax+1）（x+b）dx=0，a，b∈R，试求ab的取值范围．

Answer 1

分析：先根据定积分的运算法则建立a与b的等量关系，然后设ab=t则a+b=-

3t+1

2

，再利用构造法构造a，b为方程x²+

3t+1

2

x+t=0两根，然后利用判别式可求出a．b的取值范围．

解答：解：∫₀¹（3ax+1）（x+b）dx
=∫₀¹[3ax²+（3ab+1）x+b]dx
=[ax³+

1

2

（3ab+1）x²+bx]

|

1 0

=a+

1

2

（3ab+1）+b=0
即3ab+2（a+b）+1=0
设ab=t∴a+b=-

3t+1

2

则a，b为方程x²+

3t+1

2

x+t=0两根
△=

(3t+1)2

4

-4t≥0∴t≤

1

9

或t≥1
∴a•b∈（-∞，

1

9

]∪[1，+∞）

点评：本题主要考查了定积分的简单应用，以及利用构造法求变量的取值范围，同时考查了计算能力，属于中档题．