Question

已知函数f（x）=log₂（x+1）
（Ⅰ）若f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为[log2

p

m

，log2

p

n

]，求实数P的取值范围；
（Ⅱ）设函数g(x)=log2(x2-3x+5)，h（t）=|t-a|+|t|，是否存在实数a，使得h（t）≥2^{f（x）-g（x）}对任意x∈（-1，+∞），t∈R恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的单调性可求出值域，从而建立方程组，转化成m，n是x+1=

p

x

的两根，即方程：x²+x-p=0，x∈（-1，0）∪（0，+∞）有两个相异的解，从而求出所求；
（Ⅱ）“h（t）≥2^{f（x）-g（x）}对任意x∈（-1，+∞），t∈R恒成立”转化成“h（t）≥

x+1

x2-3x+5

的最大值”，然后利用基本不等式求出不等式右侧函数的最大值，从而可求出实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意知：f(m)=log2(m+1)=log2

p

m

，f(n)=log2(n+1)=log2

p

n

即：m+1=

p

m

，n+1=

p

n

，n＞m＞-1，
∴m，n是x+1=

p

x

的两根，即方程：x²+x-p=0，x∈（-1，0）∪（0，+∞）有两个相异的解，
由对称轴x=-

1

2

＜-1，只需满足

△=1+4p＞0 (-1)2+(-1)-p＞0

，解得：-

1

4

＜p＜0，
∴实数p的取值范围是-

1

4

＜p＜0；
（Ⅱ）由题意h（t）≥2log2(x+1)-log2(x2-3x+5)=

x+1

x2-3x+5

对任意x∈（-1，+∞）成立，即h（t）≥

x+1

x2-3x+5

的最大值，
又∵

x+1

x2-3x+5

=

x+1

(x+1)2-5(x+1)+9

=

1

(x+1)+ 9 x+1 -5

≤1，当且仅当x+1=

9

x+1

，即x=2时取到，
∴h（t）≥1对t∈R恒成立，只需h（t）_min≥1，
而h（t）=|t-a|+|t|≥|a|，
∴|a|≥1即可，解得a≥1或a≤-1，
∴实数a的取值范围是a≥1或a≤-1．

点评：本题主要考查了函数的定义域和值域，以及基本不等式在最值问题中的应用和恒成立问题，解决恒成立求参数范围问题常常利用参数分离法，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．