Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段AC₁上有两个动点E，F，且EF=

3

3

．给出下列四个结论：
①BF∥CE；
②CE⊥BD；
③三棱锥E-BCF的体积为定值；
④△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；
其中，正确结论的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由BC与AC₁为异面直线可判断①的正误；
②利用BD⊥平面ACC₁，可判断②的正误；
③通过计算三棱锥E-BCF的体积可判断③；
④分析△BEF在底面ABCD内的正投影可判断④的正误．

解答：解：∵BC与AC₁为异面直线，
∴BF与CE异面，故①错误；
对于②，∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为棱长为1的正方体，
∴BD⊥平面ACC₁，CE?平面ACC₁，
∴CE⊥BD，故②正确；
对于③，V_E-BCF=V_B-ECF=

1

3

×（

1

2

|BD|）•S_△ECF=

1

6

×

2

•S_△ECF，
又在直角三角形ACC₁中，点C到EF的距离为h=

6

3

，|EF|=

1

3

|AC₁|=

3

3

，
∴S_△ECF=

1

2

×

3

3

×

6

3

=

2

6

，
于是，V_E-BCF为定值，故③正确；
对于④，EF在底面ABCD内的正投影在底面对角线AC上，其射影的长度为

1

3

|AC|，点B到AC的距离就是投影三角形的高，故△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形，正确．
综上所述，正确选项为②③④．
故答案为：C．

点评：本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线、线面垂直、正投影与射影概念的理解与应用，考查分析与计算能力，属于中档题．