Question

如图所示，椭圆C：的离心率，左焦点为F₁（-1，0），右焦点为F₂（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k₁、k₂，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦MN的中点P落在△MF₁F₂内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由焦点坐标可得c值，由离心率可得a值，据a，b，c关系可求得b；
（2）设直线l的方程为y=kx+b，M、N坐标分别为 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及斜率公式可用k，b表示出等式，由此可求得b值，进而可求得直线所过定点；
（3）由（2）中的一元二次方程可求得判别式大于0求得k的范围，设弦AB的中点P坐标则可分别表示出x和y，易判断p点在x轴上方，从而得一关于x，y的不等式组，将坐标代入，解出即可；
解答：解：（1）由题意可知：椭圆C的离心率，c=1，∴b²=1，a²=2，
故椭圆C的方程为．
（2）设直线l的方程为y=kx+b，M、N坐标分别为 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，
∴，
∵．
∴，
将韦达定理代入，并整理得，解得b=2．
∴直线l与y轴相交于定点（0，2）；
（3）由（2）中（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=（1+2k²）x²+8kx+6=0，其判别式△＞0，得．①
设弦AB的中点P坐标为（x，y），则，
∵弦MN的中点P落在△MF₁F₂内（包括边界），∴
将坐标代入，整理得
解得②，
由①②得所求范围为；
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生转化与化归思想的运用和基础知识的熟练掌握．