Question

数列{a_n}中，a₁=1，（c＞1为常数，n=1，2，3，…），且
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）①证明：a_n＜a_n+1；
②猜测数列{a_n}是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）比较与的大小，并加以证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）把n=2和n=3分别代入，可得到a₂和a₃的表达式代入即可求得c．
（2）①要证a_n＜a_n+1需证a_n+1-a_n＞0，把代入整理得
当且仅当a_n=2时，a_n+1=a_n．根据a₁=1进而可证明．
②数列{a_n}有极限且极限值等于2．
（3）对进行整理可得到关系式，然后代入到中找到的关系式，最后与作差比较大小．
解答：（Ⅰ）解：依题意，
由，得，
解得c=2，或c=1（舍去）．
（Ⅱ）①证明：因为，
当且仅当a_n=2时，a_n+1=a_n．
因为a₁=1，所以a_n+1-a_n＞0，即a_n＜a_n+1（n=1，2，3，）．
②数列{a_n}有极限，且．
（Ⅲ）解：由，可得a_n（a_n+1-a_n）=（a_n-2）（a_n+1-2），
从而．
因为a₁=1，所以
所以
因为a₁=1，由（Ⅱ）①得a_n≥1（n∈N^*）．（1）
下面证明：对于任意n∈N^*，有a_n＜2成立．
当n=1时，由a₁=1，显然结论成立．
假设结论对n=k（k≥1）时成立，即a_k＜2．
因为，且函数在x≥1时单调递增，
所以．
即当n=k+1时，结论也成立．于是，当n∈N^*时，有a_n＜2成立．（2）
根据（1）、（2）得1≤a_n＜2．
由a₁=1及，经计算可得
所以，当n=1时，；当n=2时，；
当n≥3时，由，得．
点评：本题主要考查数列的递推关系式和数列的求和问题．数列是高考必考题，要强化复习．