Question

极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为z轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同，己知圆C₁的极坐标方程为p=4（cosθ+sinθ），P是C₁上一动点，点Q在射线OP上且满足
OQ=OP，点Q的轨迹为C₂．
（I）求曲线C₂的极坐标方程，并化为直角坐标方程；
（ II）已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤φ＜π），l与曲线C₂有且只有一个公共点，求φ的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）设点P、Q的极坐标分别为（ρ₀，θ）、（ρ，θ），
则 ρ= ρ₀= ×4（cosθ+sinθ）=2（cosθ+sinθ），
点Q轨迹C₂的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），
两边同乘以ρ，得ρ²=2（ρcosθ+ρsinθ），
C₂的直角坐标方程为x²+y²=2x+2y，
即（x﹣1）²+（y﹣1）²=2．
（Ⅱ）将l的代入曲线C₂的直角坐标方程，
得（tcosφ+1）²+（tsinφ﹣1）²=2，
即t²+2（cosφ﹣sinφ）t=0，
 t₁=0，t₂=sinφ﹣cosφ，
由直线l与曲线C₂有且只有一个公共点，
得sinφ﹣cosφ=0，
因为0≤φ＜π，
所以φ= ．