Question

如图，函数f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0，|?|＜π）的图象过点（0，1）．
（1）求证：φ=

π

6

，并写出f（x）的解析式；
（2）指出函数f（x）的单调递增区间；
（3）解方程f(x)=-

3

．

Answer 1

分析：（1）由图的最值可知A=2，由

T

2

=(x0+2π)-x0，可求ω=

1

2

，再由f（x）过点（0，1），代入可得Asinφ=1⇒sinφ=

1

2

，结合|φ|＜π，可求φ及函数的解析式
（2）由2kπ-

π

2

≤

1

2

x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得函数f（x）的单调递增区间
（3）由2sin(

1

2

x+

π

6

)=-

3

得

1

2

x+

π

6

=2kπ-

π

3

或

1

2

x+

π

6

=2kπ-

2π

3

，可求

解答：解：（1）证明：由图知A=2 （1分）

T

2

=(x0+2π)-x0，T=4π，∴ω=

1

2

（3分）
∵f（x）过点（0，1），Asinφ=1⇒sinφ=

1

2

，又∵|φ|＜π，∴φ=

π

6

或

5π

6

（5分）
若φ=

5π

6

，由ωx+φ=kπ+

π

2

⇒x=2kπ-

2π

3

(k∈Z)，取k=1知x＞0的第一个最值为最小值而不是最大值，∴φ=

π

6

（由图象结合单调性亦可．或说明函数f(x)=2sin(

1

2

x+

5π

6

)图象在[0，

4

3

π]下降，故将?=

5

6

π舍去也可）    （7分）
此时 f(x)=2sin(

1

2

x+

π

6

)（8分）
（2）由2kπ-

π

2

≤

1

2

x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得函数f（x）的单调递增区间是[4kπ-

4π

3

，  4kπ+

2π

3

]（k∈Z）（11分）
（3）由2sin(

1

2

x+

π

6

)=-

3

得

1

2

x+

π

6

=2kπ-

π

3

或

1

2

x+

π

6

=2kπ-

2π

3

所以原方程的解集为{x|x=4kπ-

5π

3

或x=4kπ-π，k∈Z}
（或：{x|x=2kπ+(-1)k+1

π

3

-

π

3

，k∈Z}）                        （14分）

点评：本题主要考查了由函数的部分图象确定函数的解析式，解题的一般步骤：由函数的最值求A，由周期求ω，再由函数所经过的一点求ω，还考查了角函数的性质的应用，属于知识的综合应用．