Question

已知抛物线x²=4y上的点P（非原点）处的切线与x轴，y轴分别交于Q，R两点，F为焦点．
（Ⅰ）若，求λ．
（Ⅱ）若抛物线上的点A满足条件，求△APR的面积最小值，并写出此时的切线方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）设，则由导数的几何意义可得PR的直线方程为，可求Q，R，由，代入可求λ
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，PA的方程为：，联立方程得，解之得A，而=，
令，通过导数研究函数的单调性，进而可求f（t）的最小值及取得最小值时的t，从而可求切线方程
解答：解：（Ⅰ）设，则PR的直线方程为（切线的斜率），
令y=0得，令x=0得R（0，）
∴，，
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，PA的方程为：，
联立方程得，解之得A点的坐标为，=，
令，，
令f'（t）=0得，当时，f'（t）＜0，当时，f'（t）＞0，
所以，f（t）当且仅当时取最小值，
因为是关于t的偶函数，同样地，当时，也取得最小值，
此时切线PR的方程为或．
点评：本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线的切线方程，利用导数研究函数的单调性、求解函数的最值及直线与曲线相交关系的综合应用，属于综合性试题