题目内容
口袋里装有7个大小相同的小球，其中三个标有数字1，两个标有数字2，一个标有数字3，一个标有数字4．（Ⅰ） 第一次从口袋里任意取一球，放回口袋里后第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为ξ．当ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由；
（Ⅱ） 第一次从口袋里任意取一球，不再放回口袋里，第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为η．求η的分布列和数学期望．
【答案】分析：（Ⅰ）由题设知ξ可能的取值为2，3，4，5，6，7，8，由题设条件分别求出P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），P（ξ=5），P（ξ=6），P（ξ=7），P（ξ=8），由此求出当ξ为4或5时，其发生的概率最大．
（Ⅱ）由题设知η可能的取值为2，3，4，5，6，7，分别求出P（η=2），P（η=3），P（η=4），P（η=5），P（η=6），P（η=7），由此能求出η的分布列和E（η）．
解答：解：（Ⅰ）由题设知ξ可能的取值为2，3，4，5，6，7，8，
，
，
，
，
，
，
，
所以当ξ为4或5时，其发生的概率最大．…（6分）
（Ⅱ）由题设知η可能的取值为2，3，4，5，6，7，…（7分）
P（η=2）=
=
，
P（η=3）=
=
，
P（η=4）=
=
，
P（η=5）=
=
，
P（η=6）=
=
，
P（η=7）=
，
∴η的分布列为：
…（11分）
E（η）=2×
+3×
+4×
+5×
+6×
+7×
=4．…（12分）
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的合理运用．
（Ⅱ）由题设知η可能的取值为2，3，4，5，6，7，分别求出P（η=2），P（η=3），P（η=4），P（η=5），P（η=6），P（η=7），由此能求出η的分布列和E（η）．
解答：解：（Ⅰ）由题设知ξ可能的取值为2，3，4，5，6，7，8，
，，，，，，，所以当ξ为4或5时，其发生的概率最大．…（6分）
（Ⅱ）由题设知η可能的取值为2，3，4，5，6，7，…（7分）
P（η=2）=
=，P（η=3）=
=，P（η=4）=
=，P（η=5）=
=，P（η=6）=
=，P（η=7）=
，∴η的分布列为：
…（11分）
E（η）=2×
+3×+4×+5×+6×+7×=4．…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的合理运用．
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