Question

（2012•安徽模拟）若函数f（x）=x³-3x²+ax-1的两个极值点为x₁，x₂且0＜x₁＜x₂，则x12+x22的取值范围是（　　）

A．（2，+∞）

B．（-∞，4）

C．（1，5）

D．（2，4）

Answer 1

分析：由已知，x₁，x₂且是方程f^′（x）=0的两不等正实数根，求出a的取值范围，再根据根与系数的关系将x₁²+x₂²变形为两根之积或两根之和的形式，化为关于a的表达式求解．

解答：解：f^′（x）=3x²-6x+a，
函数f（x）=x³-3x²+ax-1的两个极值点为x₁，x₂且0＜x₁＜x₂，
即是说x₁，x₂且是方程f^′（x）=0的两不等正实数根，
∴

△=(-6)2-4×3×a=36-12a＞0 x1+  x2=2＞ 0 x1•x2= a 3 ＞0

解得0＜a＜3，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4-

2a

3

．

2a

3

∈(0，2)，4-

2a

3

∈（2，4）．
故选D．

点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．