Question

（本题满分16分）已知函数。
（Ⅰ）当时，证明函数不是奇函数；
（Ⅱ）判断函数的单调性，并利用函数单调性的定义给出证明；
（Ⅲ）若是奇函数，且在时恒成立，求实数的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）当时，，因为，，
所以，故不是奇函数； ……………………………………4分
（Ⅱ）函数在上为单调增函数， …………………………………………  6分
证明：设，则……… 8分
∵，∴，，且
又∵，∴
∴，故。
∴函数在上为单调增函数。…………………………………………………10分
（Ⅲ）因为是奇函数，所以对任意恒成立。
即对任意恒成立．
化简整理得对任意恒成立． ∴…………………12分
又因为在时恒成立，
所以在时恒成立，
令，设，且，
则
由（Ⅱ）可知，，又，
所以，即，
故函数在上是增函数。………………………14分
所以，由。
因此的取值范围是。 ………………………………………………16分

略