Question

已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

解析:

（1）求函数的导数；．

曲线在点处的切线方程为：，

       即    ．

（2）如果有一条切线过点，则存在，使．

于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程

有三个相异的实数根．

记    ，则    ．

当变化时，变化情况如下表：

		0
		0		0
	极大值		极小值

由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；

当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；

当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．

综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则

即    ．