题目内容
某工厂每月生产某种产品三件，经检测发现，工厂生产该产品的合格率为
，已知生产一件合格品能盈利25万元，生产一件次品将会亏损10万元，假设该产品任何两件之间合格与否相互没有影响．
（Ⅰ）求工厂每月盈利额ξ（万元）的所有可能取值；
（Ⅱ）若该工厂制定了每月盈利额不低于40万元的目标，求该工厂达到盈利目标的概率；
（Ⅲ）求工厂每月盈利额ξ的分布列和数学期望．
| 4 | 5 |
（Ⅰ）求工厂每月盈利额ξ（万元）的所有可能取值；
（Ⅱ）若该工厂制定了每月盈利额不低于40万元的目标，求该工厂达到盈利目标的概率；
（Ⅲ）求工厂每月盈利额ξ的分布列和数学期望．
分析：（I）由题意知，工厂每月生产的三种产品中，合格产品的件数的所有可能结果是：0，1，2，3，得到相应的月盈利额ξ的取值量ξ=-30，5，40，75．
（II）根据题意得到变量的可能的取值，根据变量对应的事件，利用独立重复试验的概率公式得到概率，写出分布列
（III）根据上一问做出的变量的分布列，代入求期望值的公式做出期望值．
（II）根据题意得到变量的可能的取值，根据变量对应的事件，利用独立重复试验的概率公式得到概率，写出分布列
（III）根据上一问做出的变量的分布列，代入求期望值的公式做出期望值．
解答：解：（I）工厂每月生产的三种产品中，合格产品的件数的所有可能结果是：0，1，2，3，则相应的月盈利额ξ的取值量ξ=-30，5，40，75…（2分）
（II）月盈利额ξ的分布量：
P（ξ=-30）=C30（
）3=
，P（ξ=5）=C31（
）2•
=
，
P（ξ=40）=C32（
）2•
=
，P（ξ=75）=C33（
）3=
，
所以P（ξ≥40）=P（ξ=40）+P（ξ=75）=
…（12分）
即
（III）Eξ=（-30）×
+5×
+40×
+75×
=54…（14分）
（II）月盈利额ξ的分布量：
P（ξ=-30）=C30（
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 125 |
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 12 |
| 125 |
P（ξ=40）=C32（
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 48 |
| 125 |
| 4 |
| 5 |
| 64 |
| 125 |
所以P（ξ≥40）=P（ξ=40）+P（ξ=75）=
| 112 |
| 125 |
即
| ξ | -30 | 5 | 40 | 75 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 1 |
| 125 |
| 12 |
| 125 |
| 48 |
| 125 |
| 64 |
| 125 |
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，即独立重复试验的概率公式，本题解题的关键是看出所给的变量符合什么规律，利用概率的公式来解题．
练习册系列答案
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（吨）与每吨产品的价格
（元/吨）之间的关系式为：
,且生产x吨的成本为
（元）
问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）