题目内容

有人玩掷骰子移动棋子的游戏，棋盘分为A、B两方，开始时棋子放在A方，根据下列①、②、③的规定移动棋子：①骰子出现1点时，不能移动棋子；②出现2、3、4、5点时，把棋子移向对方；③出现6点时，如果棋子在A方就不动，如果棋子在B方就移至A方．
（1）求将骰子连掷2次，棋子掷第一次后仍在A方而掷第二次后在B方的概率．
（2）将骰子掷了n次后，棋子仍在A方的概率记为Pn，求Pn．
分析：（1）第一次后仍在A方的概率为
2
6
，而掷第二次后在B方的概率为
4
6
，故所求的概率为
2
6
×
4
6
．
（2）设把骰子掷了n+1次后，棋子仍在A方的概率为Pn+1，有两种情况：①第n次棋子在A方，其概率为Pn，且
第n+1次骰子出现1点或6点，其概率为
2
6
．②第n次棋子在B方，且第n+1次骰子出现2，3，4，5或6点，其概率为
5
6
．可得Pn+1=
1
3
Pn+
5
6
(1-Pn)，构造等比数列{Pn-
5
9
}，首项为P1-
5
9
=-
2
9
，公比为-
1
2
的等比数列，求出其通项公式，可得Pn的值．
解答：解：（1）将骰子连掷2次，棋子掷第一次后仍在A方而掷第二次后在B方的概率P=
2
6
×
4
6
=
2
9
．
（2）设把骰子掷了n+1次后，棋子仍在A方的概率为Pn+1，有两种情况：
①第n次棋子在A方，其概率为Pn，且第n+1次骰子出现1点或6点，棋子不动，其概率为
2
6
=
1
3
．
②第n次棋子在B方，且第n+1次骰子出现2，3，4，5或6点，其概率为
5
6
．
∴Pn+1=
1
3
Pn+
5
6
(1-Pn)，即Pn+1-
5
9
=-
1
2
(Pn-
5
9
)，P0=1，
P1=
1
3
P0+
5
6
(1-P0)=
1
3
，
Pn+1-
5
9
Pn-
5
9
=-
1
2
．
∴{Pn-
5
9
}是首项为P1-
5
9
=-
2
9
，公比为-
1
2
的等比数列．
∴Pn-
5
9
=-
2
9
(-
1
2
)n-1，即 Pn=
5
9
+
(-1)n
9•2n-2
．
点评：本题主要考查等可能事件的概率，等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，体现了转化的数学思想．
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（1）求将骰子连掷2次，棋子掷第一次后仍在A方而掷第二次后在B方的概率．
（2）将骰子掷了n次后，棋子仍在A方的概率记为Pn，求Pn．
有人玩掷骰子移动棋子的游戏，棋盘分为A、B两方，开始时棋子放在A方，根据下列①、②、③的规定移动棋子：①骰子出现1点时，不能移动棋子；②出现2、3、4、5点时，把棋子移向对方；③出现6点时，如果棋子在A方就不动，如果棋子在B方就移至A方．
（1）求将骰子连掷2次，棋子掷第一次后仍在A方而掷第二次后在B方的概率．
（2）将骰子掷了n次后，棋子仍在A方的概率记为Pn，求Pn．

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