题目内容

有人玩掷骰子移动棋子的游戏，棋盘分为A、B两方，开始时棋子放在A方，根据下列①、②、③的规定移动棋子：①骰子出现1点时，不能移动棋子；②出现2、3、4、5点时，把棋子移向对方；③出现6点时，如果棋子在A方就不动，如果棋子在B方就移至A方．
（1）求将骰子连掷2次，棋子掷第一次后仍在A方而掷第二次后在B方的概率．
（2）将骰子掷了n次后，棋子仍在A方的概率记为P_n，求P_n．

解：（1）将骰子连掷2次，棋子掷第一次后仍在A方而掷第二次后在B方的概率P= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）设把骰子掷了n+1次后，棋子仍在A方的概率为P_n+1，有两种情况：
①第n次棋子在A方，其概率为P_n，且第n+1次骰子出现1点或6点，棋子不动，其概率为 $\text{[math]}$ ．
②第n次棋子在B方，且第n+1次骰子出现2，3，4，5或6点，其概率为 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，P₀=1，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∴{ $\text{[math]}$ }是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列．
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）第一次后仍在A方的概率为 $\text{[math]}$ ，而掷第二次后在B方的概率为 $\text{[math]}$ ，故所求的概率为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
（2）设把骰子掷了n+1次后，棋子仍在A方的概率为P_n+1，有两种情况：①第n次棋子在A方，其概率为P_n，且
第n+1次骰子出现1点或6点，其概率为 $\text{[math]}$ ．②第n次棋子在B方，且第n+1次骰子出现2，3，4，5或6点，其概率为 $\text{[math]}$ ．可得 $\text{[math]}$ ，构造等比数列{ $\text{[math]}$ }，首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，求出其通项公式，可得P_n的值．
点评：本题主要考查等可能事件的概率，等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，体现了转化的数学思想．