Question

已知函数，其中为常数，且.

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调递减区间；

（2）若函数在区间上的最小值为，求的值.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先求，由导数的几何意义知曲线在点处的切线斜率为，带入导函数中求得，令，解不等式并和定义域求交集，得函数单调递减区间；（2）令，得，讨论与定义域的位置关系，当在定义域外或区间端点时，函数在给定的定义域内单调，利用单调性求最小值；当是定义域的内点时，将定义域分段，并分别判断单调性，判断函数大致图象，从而确定函数最小值，列方程求．

试题解析： （） 2分

（1）因为曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，，

所以，即解得 4分

当时，，。

令，解得所以函数的递减区间为： 6分

（2）当时，在（1，3）上恒成立，这时在[1，3]上为增函数

令 ，得（舍去） 7分

当时，由得，

对于有在上为减函数，

对于有在上为增函数，

，令，得 9分

当时，在（1，3）上恒成立，这时在上为减函数，

∴.令 得 （舍去）

综上， 12分

考点：1、导数在单调性上的应用；2、利用导数求函数的最值.