Question

已知函数f（x）=x²+2x+alnxa∈R．
①当a=-4时，求f（x）的最小值；
②若函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围；
③当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：①∵f（x）=x²+2x-4lnx（x＞0）
∴（2分）
当x＞1时，f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0
∴f（x）在（0，1）上单调减，在（1，+∞）上单调增
∴f（x）_min=f（1）=3（4分）
②（5分）
若f（x）在（0，1）上单调增，则2x²+2x+a≥0在x∈（0，1）上恒成立?a≥-2x²-2x恒成立
令u=-2x²-2x，x∈（0，1），则，u_max=0
∴a≥0（7分）
若f（x）在（0，1）上单调减，则2x2+2x+a≤0在x∈（0，1）上恒成立?a≤[-2x²-2x]_min=-4
综上，a的取值范围是：（-∞，-4]∪[0，+∞）（9分）
③（2t-1）²+2（2t-1）+aln（2t-1）≥2t²+4t+2alnt-3恒成立a[ln（2t-1）-2lnt]≥-2t²+4t-2?a[ln（2t-1）-lnt²]≥2[（2t-1）-t²]（10分）
当t=1时，不等式显然成立
当t＞1时，在t＞1时恒成立（11分）
令，即求u的最小值
设A（t²，lnt²），B（2t-1，ln（2t-1）），，
且A、B两点在y=lnx的图象上，又∵t²＞1，2t-1＞1，故0＜k_AB＜y'|_x=1=1
∴，故a≤2
即实数a的取值范围为（-∞，2]（14分）
分析：①先求出其导函数，得到其在定义域上的单调性即可求出f（x）的最小值；
②先求出其导函数，把f（x）在（0，1）上单调增转化为2x²+2x+a≥0在x∈（0，1）上恒成立?a≥-2x²-2x恒成立，再利用二次函数在固定区间上求最值的方法求出-2x²-2x的最大值即可求实数a的取值范围；
③根据（2t-1）²+2（2t-1）+aln（2t-1）≥2t²+4t+2alnt-3恒成立则a[ln（2t-1）-2lnt]≥-2t²+4t-2?a[ln（2t-1）-lnt²]≥2[（2t-1）-t^{2再讨论他的取值范围}
点评：该题考查函数的求导，利用导数求函数的单调性，利用恒等式求函数的最值问题，注意不要掉了自变量的取值范围．