Question

如右图所示，四棱锥中，底面为正方形， 平面，，，，分别为、、的中点．

（1）求证：；

（2）求二面角D－FG－E的余弦值．

 

Answer 1

（本小题主要考查空间线线关系.面面关系.空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合.化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力.推理论证能力和运算求解能力）

（1）证法1：∵平面，平面，

∴．

又为正方形，

∴．

∵，

∴平面．…………………4分

∵平面，　 ∴．

∵，

∴．…………………6分

证法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，， ，，

，．…………………4分

∵，

∴．…………………6分

（2）解法1：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，

，，

，，

．…………………8分

设平面DFG的法向量为，

∵　

令，得是平面的一个法向量．…………10分

设平面EFG的法向量为，

∵

令，得是平面的一个法向量．……………12分

∵．

设二面角的平面角为θ，则．

所以二面角的余弦值为．…………………14分

解法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

，，

，．…………………8分

过作的垂线，垂足为，

∵三点共线，

∴，

∵，

∴，

即，解得．…………………10分

∴．　再过作的垂线，垂足为，

∵三点共线，∴，

∵， ∴，

即，

解得．∴．

∴．…………………12分

∵与所成的角就是二面角的平面角，

所以二面角的余弦值为．…………………14分