Question

如右图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°角.若AE⊥PD,E为垂足,

(1)求证:BE⊥PD;

(2)求异面直线AE与CD所成角的大小.(用反三角函数表示)

Answer 1

分析：求一对异面直线所成的角,一是按定义平移转化为两相交直线的夹角；二是在异面直线上各取两个向量,转化为两向量的夹角或补角.

(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB.

再由AB⊥AD,得AB⊥平面PAD.

所以AB⊥PD.

又因为AE⊥PD,

所以PD⊥平面ABE.

故BE⊥PD.

(2)解:如图所示,以A为原点,AB,AD,AP所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则C,D的坐标分别为C(a,a,0),D(0,2a,0),

因为PA⊥平面ABCD,∠PDA是PD与底面ABCD所成的角,

所以∠PDA=30°.

于是,在Rt△AED中,由AD=2a,得AE=a,

过E作EF⊥AD,垂足为F,在Rt△AFE中,

由AE=a,∠EAF=60°,得AF=a,EF=a.

所以E(0,a,a).

于是,=(0,a,a),=(-a,a,0).

设与DS的夹角为θ,则由

cosθ=

=.

所以θ=arccos.

所以AE与CD所成角的大小为arccos.

点拨：求异面直线所成的角时，要注意它的范围是（0，］.