Question

已知数列中，其中为数列的前项和，并且（，.
（1）设（），求证：数列是等比数列；
（2）设数列（），求证：数列是等差数列；
（3）求数列的通项公式和前项.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3），.

解析试题分析：（1）首先条件中如何处理，通常要归一，即一是转化为相邻三项的关系；二是转化为和之间的关系，这里是转化为相邻三项的关系，接下来根据等比数列的定义，易得数列是等比数列；（2）根据等差数列的定义，结合（1）不难证明数列是等比数列；（3）有了（1）（2）的铺垫很容易求得数列的通项公式，对照通项公式的特点：它是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘得到的，故用错位相减法求数列的.
试题解析：（1）证明：，，两式相减得 --3分
即，变形得
设，则有（），又，，
从而，由此可知，数列是公比为2的等比数列.
（2）证明：由（1）知
， 
将代入得（）
由此可知，数列是公差为，首项的等差数列，
故（）.
（3）由（2）可知：，


两式错位相减：
所以 
考点：数列中的递推关系式处理及转化数学思想的使用.