题目内容
设数列{an}满足an=2an-1+1（n≥2），且a1=1，bn=log2（an+1）．（1）证明：数列{an+1}为等比数列；
（2）求数列{an}及{bn}的通项公式；
（3）求数列
的前n项和Sn．
【答案】分析：（1）由已知可得an+1=2（an-1+1），数列{an+1}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列；
（2）由（1）可求数列{an}的通项公式，根据bn=log2（an+1），可得{bn}的通项公式；
（3）利用裂项求和方法即可得到结论．
解答：（1）证明：因为an=2an-1+1（n≥2），所以an+1=2（an-1+1）（n≥2），
所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）知，an+1=2•2n-1=2n，∴an=2n-1
∴bn=log2（an+1）=n；
（3）解：
=
（
-
）
∴Sn=
[（1-
）+（
-
）+…+（
-
）]=
（1+
-
-
）=
-
-
．
点评：本题主要考查了等比数列的判断与证明，等比数列的通项公式及裂项求和方法的应用，属于中档题．
（2）由（1）可求数列{an}的通项公式，根据bn=log2（an+1），可得{bn}的通项公式；
（3）利用裂项求和方法即可得到结论．
解答：（1）证明：因为an=2an-1+1（n≥2），所以an+1=2（an-1+1）（n≥2），
所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）知，an+1=2•2n-1=2n，∴an=2n-1
∴bn=log2（an+1）=n；
（3）解：
=（-）∴Sn=
[（1-）+（-）+…+（-）]=（1+--）=--．点评：本题主要考查了等比数列的判断与证明，等比数列的通项公式及裂项求和方法的应用，属于中档题．
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设数列{an}满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（an-an+1+an+2）x+an+1?cosx-an+2sinx满足f′(
)=0若cn=an+
，则数列{cn}的前n项和Sn为（ ）
| π |
| 2 |
| 1 |
| 2an |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|