Question

2．若x＞$\frac{3}{2}$，则$\frac{8{x}^{2}-22x+23}{2x-3}$的最小值为9；此时x=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得t=2x-3＞0，换元可得原式=2t+$\frac{8}{t}$+1，由基本不等式可得．

解答 解：∵x＞$\frac{3}{2}$，∴t=2x-3＞0，∴x=$\frac{t+3}{2}$，
∴$\frac{8{x}^{2}-22x+23}{2x-3}$=$\frac{8（\frac{t+3}{2}）^{2}-22•\frac{t+3}{2}+23}{t}$
=$\frac{2{t}^{2}+t+8}{t}$=2t+$\frac{8}{t}$+1≥2$\sqrt{2t•\frac{8}{t}}$+1=9
当且仅当2t=$\frac{8}{t}$即t=2即x=$\frac{5}{2}$时取等号，
故答案为：9；$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，换元是解决问题的关键，属基础题．