Question

已知曲线，直线l：kx-y-k=0，O为坐标原点．
（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；
（2）当k=1时，直线l与曲线C相交于两点M，N，若，求曲线C的方程；
（3）当a=-1时，直线l与曲线C相交于两点M，N，试问在曲线C上是否存在点Q，使得？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分a＜0 时，a=1 时，0＜a＜1 时，a＞1 时这四种情况分别讨论．
（2）把直线l的方程代入曲线C的方程，利用根与系数的关系、弦长公式求出 a 的值．
（3）当a=-1时，曲线C表示焦点在x轴上的等轴双曲线，直线l：kx-y-k=0过曲线C的右顶点（1，0），不妨设为点M，设点N（x₂，y₂），把直线l的方程代入曲线C的方程，由根与系数的关系求得点N坐标及k值，由，求得点Q的坐标，从而得出结论．
解答：解：（1）对于曲线，当a＜0 时，曲线表示焦点在x 轴上的双曲线；
当a=1 时，曲线表示单位圆；   当0＜a＜1 时，曲线表示焦点在x 轴上的椭圆；
当a＞1 时，曲线表示曲线表示焦点在y 轴上的椭圆．
（2）当k=1时，直线l的方程为 y=x-1，代入曲线得，（a+1）x²-2x+1-a=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，由弦长公式得  = 
==，∴=1，
∴a=1．
（3）当a=-1时，曲线 即 C：x²-y²=1，表示焦点在x轴上的等轴双曲线．
直线l：kx-y-k=0过曲线C的右顶点（1，0），不妨设为点M，设点N（x₂，y₂）．
把直线l：kx-y-k=0代入曲线C的方程得 （1-k²）x²+2k² x-k²-1=0，由题意知，1和x₂是此方程的两个根，
△=4k⁴-4（1-k²）（-k²-1）＞0，∴1+x₂=-，1×x₂=，∴k=0．
∵，∴=（ 1+x₂，0+y₂）=（ 0，0）=（0，0）．
∴点Q （0，0），故点Q不在曲线C上，故不存在点Q满足条件．
点评：本题考查方程表示的曲线，弦长公式，两个向量坐标形式的运算，一元二次方程根与系数的关系，求点Q的坐标是解题的难点．