Question

已知曲线C：

x=2cosθ y=sinθ

（θ为参数），若A、B是曲线C上关于坐标轴不对称的任意两点．
（1）求AB的垂直平分线l在x轴上截距的取值范围；
（2）设过点M（1，0）的直线l是曲线C上A，B两点连线的垂直平分线，求l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）曲线C即：

x2

4

+y²=1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x₀，y₀），把A、B两点的坐标分别代入椭圆的方程，相减求出AB的斜率，用点斜式求得l的方程，从而求得l在x轴上截距x=

3

4

x₀，再由-2＜x₀＜2求出截距的范围．
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），AB的中点M（x₀，y₀），求出k=

4y0

x0

，把点M的坐标代入l的方程可得 x₀=

4

3

．由 M（x₀，y₀）在椭圆内部可得

x02

4

+y₀²＜1，再由-

5

3

＜y₀＜

5

3

且y₀≠0 以及 k=

4y0

x0

=3y₀，求得k的取值范围．

解答：解：（1）曲线C即：

x2

4

+y²=1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x₀，y₀），
则有

x12

4

+y₁²①，

x22

4

+y₂²=1 ②，由①-②可得

x12-x22

4

+y₁²-y₂²=0．
故AB的斜率k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

=-

2x0

4•2y0

=-

x0

4y0

．（2分）
l的方程y-y₀=

4y0

x0

（x-x₀），令y=0，x=

3

4

x₀．（4分）
∵-2＜x₀＜2，∴x∈（-

3

2

，

3

2

），即l在x轴上截距的取值范围为 （-

3

2

，

3

2

）．（6分）
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），AB的中点M（x₀，y₀）．由（1）可知k_AB=-

x0

4y0

，∴k=

4y0

x0

．
∵M在直线l上，∴y₀=

4y0

x0

（x₀-1）．∵y₀≠0，∴x₀=

4

3

．（8分）
∵M（x₀，y₀）在椭圆内部．∴

x02

4

+y₀²＜1，即

16 9

4

+y₀²＜1．（10分）
故有-

5

3

＜y₀＜

5

3

且y₀≠0．  再由 k=

4y0

x0

=

4y0

4 3

=3y₀．
可得-

5

＜k＜

5

且k≠0，即l的斜率k的取值范围为{k|-

5

＜k＜

5

且k≠0}．（12分）

点评：本题主要考查椭圆的参数方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，属于中档题．