Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点(-1，)，过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线l的方程以及点M的坐标；
（3）是否存过点P的直线l₁与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足？若存在，求出直线l₁的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为，
由题意得，解得，
故椭圆C的方程为；
（Ⅱ）因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，
故可设直线l的方程为，
由得，①
因为直线l与椭圆相切，所以，
整理得，解得，
所以直线l的方程为，
将代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为；
（Ⅲ）若存在直线l₁满足条件的方程为，
代入椭圆C的方程得，
因为直线l₁与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为，
所以，
所以，
又，
因为，
即，
所以，
即，
所以，解得，
因为A，B为不同的两点，所以，
于是存在直线l₁满足条件，其方程为。