Question

设（a，b为实常数）．
（1）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（2）设f（x）是实数集上的奇函数，求a与b的值；
（3）（理） 当f（x）是实数集上的奇函数时，证明对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．
（4）（文）求（2）中函数f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明不是奇函数，可用特殊值法；如证明：f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函数；
（2）利用奇函数定义f（-x）=-f（x），再用待定系数法求解；
（3）即证明c²-3c+3大于f（x）的最大值，所以先求f（x）的最大值．
（4）先将原函数式化成：，将2^x看成整体，利用其范围结合不等式的性质即可求得函数f（x）的值域．
解答：解：（1），，，
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函数；                       （4分）
（2）f（x）是奇函数时，f（-x）=-f（x），即对任意实数x成立．      （6分）
化简整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0，这是关于x的恒等式，
所以，所以（舍）或．           （10分）
（3）（理），
因为2^x＞0，所以2^x+1＞1，，从而；                 （14分）
而对任何实数c成立；              （16分）
所以对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．               （18分）
（4）（文） ，因为2^x＞0，（12分）
所以2^x+1＞1，，（14分）
从而；所以函数f（x）的值域为．        （18分）
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想；属于基础题．