Question

【题目】(2015新课标II)已知椭圆C:9x2+y2=m2（m0），直线l不过原点O且不平行于坐轴，l与C有两个交点A,B，线段AB的中点为M.
（1）(I)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（2）（II）若l过点(,m)延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

【证明】设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A(x1，y1)，B（x2，y2），M（xm,ym）

将y=kx+b代入9x2+y2=m2得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0，故xM==,yM=KXM+b=,于是直线OM的斜率KOM==-,即KOMk=-9，所以直线OM的斜率与l的斜率乘积为定值。

（2）

当l的斜率为4-或4+时，四边形OAPB为平行四边形

【解析】(II)四边形OAPB能为平行四边形
因为直线l过点（,m），所以l不过原点且与C又两个交点的充要条件是k0，k≠3
由（I）得OM的方程为y=-x,设点P的横坐标为xP
由得=即=,将点（,m）的坐标代入直线l的方程得b=,因此,四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即=2。
于是=2x.解得k1=4-,k2=4+
因为ki0，ki≠3，i=1，2.所以当l的斜率为4-或4+时，四边形OAPB为平行四边形.