Question

已知函数f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x（a∈R），f′（x）为f（x）的导数．
（I）当a=-3时证明y=f（x）在区间（-1，1）上不是单调函数．
（II）设g(x)=

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x-

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3

，是否存在实数a，对于任意的x₁∈[-1，1]存在x₂∈[0，2]，使得f′（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立？若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）证明y=f（x）在区间（-1，1）上不是单调函数，先求函数导函数，判断导函数的函数值在区间内不同号；
（2）令F（x）=f^′（x）+2ax，判断是否存在实数a，对于任意的x₁∈[-1，1]存在x₂∈[0，2]，使得f'（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立，转化成求g(x)=

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x-

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3

在[0，2]内的值域，然后使函数
F（x）的值域为g（x）值域的子集．

解答：解：（1）当a=3时，f（x）=x³+4x²-3x，f^′（x）=3x²+8x-3，由f^′（x）=0，即3x²+8x-3=0，得x₁=-3，x2=

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3

，
当-1＜x＜

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时，f^′（x）＜0，所以f（x）在（-1，

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3

）上为减函数，在（

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3

，1）上导数为正，函数为增函数，
所以，f（x）在（-1，1）上不是单调函数．
（2）因为g（x）=

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x-

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3

在[0，2]上为增函数，所以g（x）∈[-

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3

，6]．
令F（x）=f^′（x）+2ax=3x²+2（1-a）x-a（a+2）+2ax=3x²+2x-a²-2a
若存在实数a，对于任意的x₁∈[-1，1]存在x₂∈[0，2]，使得f'（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立，则对任意x∈[-1，1]，有F(x)min≥-

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3

，F（x）_max≤6．
对于函数F（x）=3x²+2x-a²-2a，F(x)min=F(-

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3

)=3×(-

1

3

)2+2×(-

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3

)-a2-2a=-a2-2a-

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3

，F（x）_max=5-a²-2a．
联立

-a2-2a- 1 3 ≥- 1 3 5-a2-2a≤6

解得：-2≤a≤0．

点评：本题（1）主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减；
（2）考查了导数的综合运用，解答的关键是如何搭桥，把看似无关的两个变量的取值问题，转化成两函数的值域之间的包含关系．