Question

（2012•许昌二模）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且b²=a²-ac+c²，C-A=90°，则cosAcosC=（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  2

  4

• C．-

  1

  4

• D．-

  2

  4

Answer 1

分析：根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，结合题中等式解出B=

π

3

，从而得到cos（A+C）=-cosB=-

1

2

，又因为C-A=90°得cos（A-C）=0，利用两角和与差的余弦公式联解，即可得到cosAcosC的值．

解答：解：∵在△ABC中，b²=a²-ac+c²，
∴由b²=a²+c²-2accosB，得cosB=

1

2

结合B∈（0，π）得B=

π

3

由此可得cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=-cosB=-

1

2

又∵C-A=90°，可得cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=cos（-90°）=0
∴两式相加，得2cosAcosC=-

1

2

，解之得cosAcosC=-

1

4

故选：C

点评：本题给出三角形边的平方关系和C-A的值，求cosAcosC之值．着重考查了两角和与差的余弦公式、利用正余弦定理解三角形等知识，属于基础题．