Question

对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调
递增或单调递减；②存在区间[]，使在[]上的值域为[]；那么把
()叫闭函数。
（1）求闭函数符合条件②的区间[]；
（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（3）若函数是闭函数，求实数的取值范围。

Answer 1

（1）[-1，1]
（2）该函数不是闭函数
（3）

（1）由题意，在[]上递减，则解得
所以，所求的区间为[-1，1]        
（2）取则，即不是上的减函数。

取，
即不是上的增函数，
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。
（3）若是闭函数，则存在区间[]，在区间[]上，函数的值域为[]，即，为方程的两个实根，
即方程有两个不等的实根。
当时，有，解得。当时，有，无解。                综上所述，。