Question

如果实数x，y满足x²+y²-4x+1=0求：
（1）x²+y²的最值；
（2）x-y的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，满足x²+y²-4x+1=0的点P（x，y）在以C（2，0）为圆心，半径为

3

的圆上，而x²+y²=|OP|²．因此当P、O、C三点共线时，|OP|达到最大值或最小值．由此结合点到直线的距离公式，即可求出x²+y²的最大值和最小值；
（2）令x-y=t，得到动直线l：x-y-t=0，将直线l进行平移，当l与圆C：（x-2）²+y²=3相切时，t达到最大或最小值．由此结合点到直线的距离公式加以计算，即可得到t的最大值和最小值，从而求出x-y的最大值．

解答：解：（1）∵实数x，y满足x²+y²-4x+1=0，可化成（x-2）²+y²=3
∴满足x²+y²-4x+1=0的点P（x，y）在以C（2，0）为圆心，半径为

3

的圆上
而x²+y²=|OP|²，
∵当P、O、C三点共线时，|OP|达到最大值或最小值
∴当圆C上的点P在OC延长线上时，|OP|的最大值为|OC|+

3

=2+

3

得到x²+y²的最大值为（2+

3

）²=7+4

3

；
当圆C上的点P在线段OC上时，|OP|的最小值为|OC|-

3

=2-

3

得到x²+y²的最大值为（2-

3

）²=7-4

3

．
综上所述，x²+y²的最大值为7+4

3

；最小值为7-4

3

     …（7分）
（2）令x-y=t，即x-y-t=0对应直线l
将直线l平移，当l与圆C：（x-2）²+y²=3相切时，t达到最大或最小值
由d=

|2-t|

2

=

3

，得t=2±

6

∴t的最小值为2-

6

，最大值为2+

6

综上所述，可得x-y的最大值为2+

6

    …（12分）

点评：本题给出满足二次方程的实数x、y，求x²+y²和x-y的最值，着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和二元函数最值的求法等知识，属于中档题．