Question

已知数列{a_n}的首项为1，对任意的n∈N^*，定义b_n=a_n+1-a_n．
（Ⅰ） 若b_n=n+1，求a₄；
（Ⅱ） 若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=a，b₂=b（ab≠0）．
（ⅰ）当a=1，b=2时，求数列{b_n}的前3n项和；
（ⅱ）当a=1时，求证：数列{a_n}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次．

Answer 1

（Ⅰ）由a₁=1及b_n=n+1，令n=1，得到a₂=a₁+b₁=1+2=3，
令n=2，得到a₃=a₂+b₂=3+3=6，
令n=4，得到a₄=a₃+b₃=6+4=10；

（Ⅱ）（ⅰ）因为b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），
所以，对任意的n∈N^*有bn+6=

bn+5

bn+4

=

1

bn+3

=

bn+1

bn+2

=bn，
即数列{b_n}各项的值重复出现，周期为6．（5分）
又数列{b_n}的前6项分别为1，2，2，1，

1

2

，

1

2

，且这六个数的和为7．
设数列{b_n}的前n项和为S_n，
则当n=2k（k∈N^*）时，S_3n=S_6k=k（b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆）=7k，
当n=2k+1（k∈N^*）时，S_3n=S_6k+3=k（b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆）+b_6k+1+b_6k+2+b_6k+3=7k+b₁+b₂+b₃=7k+5，（7分）
所以，当n为偶数时，S3n=

7

2

n；当n为奇数时，S3n=

7n+3

2

．（8分）

（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：对任意的n∈N^*有b_n+6=b_n，
又数列{b_n}的前6项分别为1，b，b，1，

1

b

，

1

b

，且这六个数的和为2b+

2

b

+2．
设c_n=a_6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}），
所以c_n+1-c_n=a_6n+6+i-a_6n+i=b_6n+i+1+b_6n+i+2+b_6n+i+3+b_6n+i+4+b_6n+i+5+b_6n+i+6=2b+

2

b

+2．
所以，数列{a_6n+i}均为以2b+

2

b

+2为公差的等差数列．（10分）
因为b＞0时，2b+

2

b

+2＞0，b＜0时，2b+

2

b

+2≤-2＜0，（12分）
所以{a_6n+i}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次．
所以数列{a_n}中任意一项的值最多在此数列中出现6次，即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次．（14分）