Question

（2006•广州二模）如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠C₁B₁C=45°，∠DC₁D₁=30°，且此长方体的顶点都在半径为

5

的球面上，则DC₁与B₁C所成角的余弦值是

2

4

，棱AA₁的长度为

2

．

Answer 1

分析：设棱AA₁的长度为a，根据长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠C₁B₁C=45°，∠DC₁D₁=30°，可知BC的长度为a，CD的长度为

3

a，利用长方体的顶点都在半径为

5

的球面上，可求棱AA₁的长度；连接AB₁，AC，则AB₁∥DC₁，则∠A₁B₁C（或其补角）为DC₁与B₁C所成角，在△A₁B₁C中，|A1B1|=2a，|B1C|=

2

a，|A1C|=2a，利用余弦定理可求DC₁与B₁C所成角的余弦值

解答：解：设棱AA₁的长度为a
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠C₁B₁C=45°，∠DC₁D₁=30°
∴BC的长度为a，CD的长度为

3

a
∵长方体的顶点都在半径为

5

的球面上
∴a2+a2+3a2=(2

5

)2
∴a=2
即棱AA₁的长度为2
连接AB₁，AC，则AB₁∥DC₁，
∴∠A₁B₁C（或其补角）为DC₁与B₁C所成角
在△A₁B₁C中，|A1B1|=2a，|B1C|=

2

a，|A1C|=2a
∴cos∠A1B1C=

4a2+2a2-4a2

2×2a× 2 a

=

2

4

故答案为：

2

4

，2

点评：本题考查的重点是线线角，考查长方体中棱长的计算，求线线角的关键是利用平移法，作出线线角．