题目内容

(2006•广州二模)某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业,第一批产品A上市销售40天内全部售完.该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查,调查结果如图中一、二、三所示,其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系;图二中的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系;图三中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同).
(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A上市时间t的关系式;
(2)第一批产品A上市后的哪几天,这家公司的日销售利润超过6300万元?
分析:(1)由图一中国外市场的日销售量f(t)是一个分段函数,图二中在两段上均为一次函数,国内市场的日销售量g(t)是二次函数,利用选定系数法易求出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A上市时间t的关系式;
(2)由图三中产品A的销售利润h(t)与上市时间t的关系,我们可求出家公司的日销售利润为F(t)的解析式,分析函数的单调性后,结合函数的单调性可得第一批产品A上市后的哪几天,这家公司的日销售利润超过6300万元.
解答:解:(1)f(t)=
2t,(0≤t≤30)
-6t+240
 (30<t≤40)
g(t)=-
3
20
t2+6t
(0≤t≤40)
(2)每件产品A的销售利润h(t)与上市时间t的关系为h(t)=
3t
 (0≤t≤20)
60
 (20<t≤40)

设这家公司的日销售利润为F(t),
则F(t)=
3t(-
3
20
t2+6t+2t)
 (0≤t≤20)
60(-
3
20
t2+6t+2t)
 (20<t≤30)
60(-
3
20
t2+6t-6t+240)
 (30<t≤40)
=
3t(-
3
20
t2+8t)
 (0≤t≤20)
60(-
3
20
t2+8t)
 (20<t≤30)
60(-
3
20
t2+240)
 (30<t≤40)

当0≤t≤20时,F′(t)=-
27
20
t2+48t=t(48-
27
20
t)≥0

故F(t)在[0,20]上单调递增,此时F(t)的最大值是F(20)=6000<6300;
当20<x≤30时,令60(-
3
20
t2+8t
)>6300,解得
70
3
<t<30

当30<x≤40时,F(t)=60(-
3
20
t2+240
)<60(-
3
20
×302+240
)=6300;
答:第一批产品A上市后,在第24,25,26,27,28,29天,这家公司的日销售利润超过6300万元.
点评:本题考查的知识点是函数模型的选择与应用,其中根据函数图象,求出各个函数的解析式,是解答本题的关键.
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