Question

设函数f(x)≥0，且对任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)+f(y)+2，求证：f(nx)=n²f(x)。

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)当n=1时，左边=1·21=2，右边=2·1=2，∴等式成立； (2)设n=k时等式成立，即1·3·5……(2k－1)·2k=(2k)(2k－1)(2k－2)……(k+1)，(k∈N)， 则当n=k+1时， 1·3·5……(2k－1)·(2k+1)·2k+1=[1·3·5…(2k－1)·2k]·(2k+1)·2 =[(2k)(2k－1)(2k－2)…(k+2)(k+1)]·(2k+1)·2 =(2k+2)(2k+1)·2k·(2k－1)·(2k－2)…(k+1)     ∴n=k+1时等式成立。   由(1)、(2)可知，对一切n∈N，等式成立。