Question

已知函数f（x）=（x²+ax）e^x+b，a，b∈R，若函数f（x）在x=0处的切线方程为y=-2x+1，
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）求函数的导数，利用函数f（x）在x=0处的切线方程为y=-2x+1，建立方程关系即可求a，b的值；
（2）求函数的导数，即可求函数f（x）的单调区间．

解答：解：（1）∵函数f（x）在x=0处的切线方程为y=-2x+1，
∴f'（0）=-2，且f（0）=1，
∵f（x）=（x²+ax）e^x+b，
∴f'（x）=（2x+a+x²+ax）e^x，
则由f'（0）=-2，且f（0）=1，
得f'（0）=a=-2，且f（0）=b=1，
即a=-2，b=1．
（2）∵a=-2，b=1．
∴f（x）=（x²-2x）e^x+1，f'（x）=（2x-2+x²-2x）e^x=（x²-2）e^x，
由f'（x）=（x²-2）e^x＞0，得x＞

2

或x＜-

2

，
即函数的单调递增区间为（

2

，+∞）和（-∞，-

2

）．
由f'（x）=（x²-2）e^x＜0，得-

2

＜x＜

2

，
即函数的单调递减区间为（-

2

，

2

）．

点评：本题主要考查导数的计算，利用导数的几何意义求出a，b 是解决本题的关键，要求熟练掌握函数单调性和导数之间的关系．